一次快篩陽性就是確診嗎

幾乎所有的流行病專家現今都在玩統計，所以我們嘗試以統計學的觀點來看上述命題是否正確。

首先，假設在一個Covid-19感染率為1/1000的地區，我們有一種快篩試劑，他的靈敏度(Sensitivity)和特異度(Specificity)都是99%。阿飛覺得喉嚨癢覺得喉嚨癢，首次快篩為陽性，請問阿飛確診的機率是多少？

A. 99%，B. 90%，C. 49%，D. 9%

請注意，這題目可應用在任何疾病和試劑上，如癌症或肝炎，Covid-19只是一個可蹭熱度的例子。

我們所需要的參數，只有：1.疾病感染率，2.試劑靈敏度和，3.試劑特異度。

意外的答案

答案是，Covid-19 確診率的機會約 9%，而非直覺中的99%！但是如果第二次測試又是陽性，確診率將變成約90%

(如無興趣，到此結束)

欲知詳情，首先，一些定義

靈敏度(Sensitivity) :阿飛確診時，試劑測出為陽性的機率(Probability)

特異度(Specificity) :阿飛時沒被感染時，試劑測出陰性的機率(Probability)

以數學公式表達：

靈敏度 = P(陽性|確診)

特異度 = P(陰性|沒事)  (註：1-特異度 = P(陽性|沒事) )

其中P(A|B)是條件機率，即是在B發生的情形下，A為真的機率

我們的目標，是根據前述事實，算出 P(確診|陽性)

貝氏定理介紹

條件機率：當B發生時，A(和B皆)發生的機率，記作：P(A|B)，定義如下

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) (符號 ∩ 代表”且”，也就是 and)

貝氏定理：

P(B|A) = P(B∩A) / P(A)

= P(A∩B) /P(A)

= P (A|B) * P(B) / P(A)

亦即： P(B|A) = P (A|B) * P(B) / P(A)

因靈敏度和 P(確診) 皆為已知

´

靈敏度 = P(陽性|確診) = P(確診|陽性) * P(陽性)/P(確診)

想知道的的P(確診|陽性) = 靈敏度 * P(確診) / P(陽性)

(靈敏度 = 0.99和 P(確診) = 0.001 皆為已知)

所以，接著就是求P(陽性)

P(陽性) = P(確診且陽性)+P(沒事且陽性(也就是誤判))

P(陽性) = P(確診 ∩ 陽性) + P(沒事 ∩ 陽性)

= P(陽性|確診)* P(確診) + P(陽性|沒事) *P(沒事)

 (因為P(陽性|沒事) = 1-P(陰性|沒事)，P(沒事)= 1-P(確診)

= 靈敏度 * P(確診) + (1-P(陰性|沒事)* (1-P(確診))

= 靈敏度 * P(確診) + (1-特異度) * (1-P(確診))

 (此時我們已有所有數值)

結論

P(確診|陽性) =靈敏度 * P(確診) / P(陽性)

P(陽性) = 靈敏度 * P(確診) + (1-特異度) * (1-P(確診)

代入數字

P(陽性) = 0.99 * 0.001 + 0.01* 0.999 = 0.00099 + 0.00999 約= 0.011

P(確診|陽性) = 0.99 * 0.001 / 0.011 = 0.09約=9%

連續第二次陽性時，先驗 P(確診)原先後驗的 P(確診|陽性)=0.09

P(確診|陽性) = (0.99 * 0.09) / (0.99*0.09 + 0.01*0.91) = 0.09/0.0991 約= 90%

連續第三次陽性時， P(確診|陽性) 約= 99.9%，應是確診

問：如在感染率 P(確診)=0.1的地區，第一次快篩陽，P(確診|陽性) 是否約= 92%？

敬請指教

示意圖：x=感染率 vs y=P(確診|陽性)

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